Cultura de M xico

Área bajo la gáfica de una función
En matemática, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integralespueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (porejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875–1941).
Laintegral de una función f entre los límites de integración a y b pueden ser interpretados como el área bajo la gráfica de f. Esto es fácil de entender para funciones que nos son familiares como los polinomios, la exponencial o logarítmica, pero… ¿qué quiere decir para funciones un poco más exóticas o con comportamiento errático? En general, ¿cuál es la clase de funciones para las cuales el concepto de“área bajo la curva” tiene sentido? La respuesta a esta interrogante tiene importancia teórica y práctica fundamental.




Área entre las gráficas de funciones.
3.1.2 Area Entre las Graficas de Funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:



El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:
 f(x) y g(x)[ Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:


Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.
Ejemplode Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:



Longitud De Curvas
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados variosmétodos para curvas específicas, la llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Formula General 
La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familiafinita de puntos en C, y aproximar la longitud mediante la longitud de la poligonal que pasa por dichos puntos.Cuantos más puntos escojamos en C, mejor seria el valor obtenido como aproximación de la longitud de C. 


Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.                             
(VER IMAGEN 2.0)
Imagen 2.0
Cuando la curva essuave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras (dL)2=(dx)2+(dy)2.
Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

Volumen de sólidos de revolución
En este apartado podrás encontrar algunas aplicaciones de la integral, relacionadas con los volúmenes contenidos al rotar la gráfica de una función definida en...

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